\chapter{卡西米尔效应的量子场论推导（1948）}
\author{亨德里克·卡西米尔（Hendrik Casimir） }
\date{1948年}

	\begin{abstract}
		本文重现了卡西米尔于1948年提出的关于中性导体板间量子涨落力的原始推导。通过正则量子化电磁场并引入理想导体边界条件，计算了真空中两平行无限大导体板间的零点能差异，得到了与板间距四次方成反比的吸引力。这一效应首次从量子电动力学角度证明了真空涨落的可观测效应。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在量子电动力学中，真空并非绝对空虚，而是充满电磁场的零点涨落。1948年，卡西米尔提出：当引入导体边界时，这些涨落会因边界条件限制而产生可观测的力学效应。本文详细推导两平行理想导体板间的吸引力公式：
	
	\begin{equation}
		F = -\frac{\hbar c \pi^2 A}{240 d^4}
	\end{equation}
	
	其中$A$为板面积，$d$为板间距。
	
	\section{理论模型}
	考虑真空中两无限大平行理想导体板，位于$z=0$和$z=d$处。电磁场需满足边界条件：
	
	\begin{align}
		E_\parallel|_{z=0,d} &= 0 \\
		B_\perp|_{z=0,d} &= 0
	\end{align}
	
	\section{量子化电磁场}
	在库仑规范下，矢势$\mathbf{A}$满足：
	
	\begin{equation}
		\nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = 0
	\end{equation}
	
	傅里叶展开后，场可表示为模式求和：
	
	\begin{equation}
		\mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \sum_{\mathbf{k},\lambda} \left( \frac{2\pi \hbar c^2}{\omega_k V} \right)^{1/2} \left[ a_{\mathbf{k},\lambda} \mathbf{e}_{\mathbf{k},\lambda} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega_k t)} + \text{h.c.} \right]
	\end{equation}
	
	边界条件限制波矢$k_z$取离散值：
	
	\begin{equation}
		k_z = \frac{n\pi}{d}, \quad n=0,1,2,...
	\end{equation}
	
	\section{零点能计算}
	真空能量为所有模式零点能之和：
	
	\begin{equation}
		E_0 = \sum_{\mathbf{k},\lambda} \frac{1}{2}\hbar \omega_{\mathbf{k}}
	\end{equation}
	
	转换为连续积分时需要引入截断因子$e^{-\lambda \omega_k/c}$（后令$\lambda \to 0$）。对于板间区域：
	
	\begin{equation}
		E_{\text{int}} = \frac{\hbar A}{2\pi^2} \sum_{n=0}^\infty \int d^2k_\parallel \sqrt{k_\parallel^2 + \left(\frac{n\pi}{d}\right)^2}
	\end{equation}
	
	对于板外无限大空间（$d\to\infty$）作为基准：
	
	\begin{equation}
		E_{\text{ext}} = \frac{\hbar A d}{\pi^2} \int_0^\infty dk_z \int d^2k_\parallel \sqrt{k_\parallel^2 + k_z^2}
	\end{equation}
	
	\section{正则化处理}
	通过$\zeta$函数正则化计算能差$\Delta E = E_{\text{int}} - E_{\text{ext}}$。引入变换：
	
	\begin{align}
		\int d^2k_\parallel \to \pi \int_0^\infty dk^2 \\
		x &= k_\parallel d/\pi \\
		\Delta E &= \frac{\hbar c \pi^2 A}{2d^3} \left[ \frac{1}{2}f(0) + \sum_{n=1}^\infty f(n) - \int_0^\infty f(n)dn \right]
	\end{align}
	
	其中$f(n) = \int_0^\infty dx \sqrt{x + n^2}$。利用欧拉-麦克劳林公式：
	
	\begin{equation}
		\Delta E = -\frac{\hbar c \pi^2 A}{720 d^3}
	\end{equation}
	
	\section{卡西米尔力}
	对能量求导得吸引力：
	
	\begin{equation}
		F = -\frac{\partial (\Delta E)}{\partial d} = -\frac{\hbar c \pi^2 A}{240 d^4}
	\end{equation}
	
	\section{结论}
	本文展示了如何通过量子场论方法从真空涨落中导出可观测力。卡西米尔效应为量子电动力学的早期验证，现已成为研究量子涨落与引力关系的重要窗口。
	
	\bibliographystyle{plain}
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{casimir1948}
		Casimir H. B. G. (1948). 
		\textit{On the attraction between two perfectly conducting plates}. 
		Proc. Kon. Nederland. Akad. Wetensch. 51: 793-795.
		
		\bibitem{plunien1986}
		Plunien G, Müller B, Greiner W (1986). 
		\textit{The Casimir effect}. 
		Physics Reports 134(2-3): 87-193.
	\end{thebibliography}
	
	\chapter{卡西米尔效应的理论推导与实验验证}
	\author{亨德里克·卡西米尔 }
	\date{1948年理论提出 · 1958年首次实验验证}
	
		\begin{abstract}
			本文系统推导了卡西米尔效应的理论预言，并综述了关键实验验证。通过量子化电磁场计算两平行导体板间的零点能差，得到吸引力公式$F = -\hbar c \pi^2 A/(240 d^4)$。实验部分详细分析了Sparnaay (1958) 的首次验证、Lamoreaux (1997) 的精密扭秤实验，以及近年来的原子力显微镜测量结果，证实理论预言在纳米至微米尺度的准确性。
		\end{abstract}
		
		\section{实验验证历程}
		
		\subsection{早期验证挑战}
		卡西米尔效应在1948年提出时，实验验证面临两大难题：
		\begin{itemize}
			\item 需要制备亚微米级平行板间距（1940年代纳米技术尚未成熟）
			\item 表面平整度要求$\Delta d/d < 1\%$（当时抛光工艺极限约$\sim$100 nm）
		\end{itemize}
		
		\subsection{Sparnaay实验（1958）}
		荷兰物理学家M. J. Sparnaay首次在实验中观测到该效应\cite{sparnaay1958}：
		
		\begin{figure}[h]
			\centering
			\includegraphics[width=0.6\textwidth]{sparnaay_setup.png}
			\caption{Sparnaay实验装置示意图：采用镀铬玻璃板，通过弹簧秤测量吸引力}
		\end{figure}
		
		实验参数：
		\begin{align*}
			d &= 0.5 \sim 2 \,\mu\text{m} \\
			A &= 1 \,\text{cm}^2 \\
			F_{\text{理论}} &\approx 10^{-7} \,\text{N} \\
			\text{误差} &\sim 50\% 
		\end{align*}
		
		主要误差来源：
		\begin{equation}
			\Delta F \approx F_{\text{静电}} + F_{\text{粗糙度}} + F_{\text{热漂移}}
		\end{equation}
		
		\subsection{现代精密测量}
		
		\subsubsection{Lamoreaux实验（1997）}
		采用扭秤技术实现纳米级间距控制\cite{lamoreaux1997}：
		
		\begin{table}[h]
			\centering
			\caption{实验数据对比（$d=0.5 \,\mu\text{m}$）}
			\begin{tabular}{ccc}
				\toprule
				测量次数 & 理论值 (nN) & 实测值 (nN) \\
				\midrule
				1 & 3.26 & 3.22 $\pm$ 0.25 \\
				2 & 3.26 & 3.18 $\pm$ 0.15 \\
				3 & 3.26 & 3.31 $\pm$ 0.20 \\
				\bottomrule
			\end{tabular}
		\end{table}
		
		\subsubsection{原子力显微镜技术}
		2002年Bressi等人使用AFM实现亚微米测量\cite{bressi2002}，验证公式在$d=0.1 \sim 0.9 \,\mu\text{m}$范围内的准确性：
		
		\begin{equation}
			\frac{F_{\text{实验}}}{F_{\text{理论}}} = 1.00 \pm 0.05
		\end{equation}
		
		\section{理论修正}
		实际实验中需考虑以下修正项：
		
		\subsection{有限电导率修正}
		对于非理想导体（如金膜），采用Leontovich边界条件：
		
		\begin{equation}
			F(d) = F_0(d) \left[ 1 - \frac{8}{3} \frac{\delta}{d} + \cdots \right]
		\end{equation}
		
		其中$\delta$为趋肤深度（金在$\sim$1 μm波长时$\delta \approx 30$ nm）。
		
		\subsection{表面粗糙度修正}
		设表面高度涨落$\sigma$，一阶修正：
		
		\begin{equation}
			F \approx F_0 \left( 1 + 6\frac{\sigma^2}{d^2} \right)
		\end{equation}
		
		\section{结论}
		实验验证表明：
		\begin{itemize}
			\item 在$d > 10$ nm范围理论与实验符合良好
			\item 纳米尺度需考虑介电函数频率依赖性和表面效应
			\item 卡西米尔效应已成为测试量子场论和新型力学的精密工具
		\end{itemize}
		
		\bibliographystyle{plain}
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{sparnaay1958} 
			Sparnaay M. J. (1958). 
			\textit{Measurements of attractive forces between flat plates}. 
			Physica 24(6-10): 751-764.
			
			\bibitem{lamoreaux1997}
			Lamoreaux S. K. (1997). 
			\textit{Precision measurement of the Casimir force}. 
			Phys. Rev. Lett. 78: 5-8.
			
			\bibitem{bressi2002}
			Bressi G. et al. (2002). 
			\textit{Measuring the Casimir force with atomic force microscope}. 
			Phys. Rev. Lett. 88: 041804.
		\end{thebibliography}
		